所謂幾何者幾何

[1] 詳述計算(computation) 幾何。
平行射影法透視射影法

工程繪圖時, 把實物描繪在平面上, 有兩種射影法: 平行法與透視法。平行法用在機械繪
圖, 假設是作斜角平行投影, 則成像具有立體感。真正使用時, 機械元件的設計藍圖須對X,Y,Z
三個軸分別做正投影, 有經驗的工程師可以從這三個投影圖裡, 毫釐不失的重建立體物件。但是
數學要問的是: 這樣的逆推是否唯一? 譬如從國, 英, 數等科目成績的個別分布, 可以推論全
部考生學力測驗成績的整體分布嗎? 更廣泛的問題: 假設一個隨機向量, 只知道每組子向量的
邊際分布時, 我們能還原實際的分布嗎? 正如在醫學影像術裡, 如何從各方向的斷層掃瞄數據,
還原出清晰的立體影像? 這些各式各樣應用, 明顯的是長在同一條藤上的。全部都根源自畫法
(descriptive) 幾何, 這套數學理論由蒙日(GaspardMonge1746-1818) 發展出來。他是拿
破倫麾下的海軍部長, 創辦了綜合工藝學院, 專門為帝國大業培養精英人才, 他還親自授課, 這
門幾何的著作當時被認作國家軍事機密, 等了三十年後才被解禁出版。

其次是透視法, 用在建築繪圖, 最基本的是中心透視, 早在文藝復興時期就已經有很成熟
的技巧, 一般畫工沒有數學式子, 只用一把尺就行了。但是更瑧完整的數學理論要等到其後的彭
賽列(Jean-VictorPoncelet1788-1867) 他出身自綜合工藝學院, 追隨拿破倫遠征莫斯科, 不
幸在伏爾加河畔兵敗被俘, 雖然身陷集中營, 卻毫不氣餒, 他召集難友討論學術, 苦思當時所學,
因此創立了射影(projective) 幾何。這種幾何被歸類為綜合(synthetic) 幾何。相對於笛卡兒
(Ren’eDescartes1596-1650) 利用坐標法將圖形換成代數式子的解析(analytic) 幾何。


透視原理

早年, 王九逵曾在台大森林館給過一場演講, 現在仍然有深刻印象的是當時熱烈的場景, 只
記得內容是非歐幾何, 細節不復記憶了。

古典希臘時的畢達格拉斯學派, 認為萬物皆源於數, 因此造物主是個數學家。後來柏拉圖學
派以為, 萬物皆由氣、火、水、土、以太等五個元素構成, 而且反應在五個正多面體上, 因此造物
主其實是個幾何學家。到了十八世紀的啟蒙時代, 哲學家們探究認識的起源, 康德(Immanuel
Kant(1724-1804)) 認為人對客觀事實的感覺過渡到理性的認識, 是透過先驗的良知良能: 時
間與空間的直觀感覺, 兩者都是天賦生成的, 而這個被體認的空間, 當然是歐氏空間, 因此為了
人類的福祉, 造物主不僅存在其實還是個歐氏幾何學家[5] 。

康德何許人也, 他是德意志全境的精神導師, 他說的還能錯嗎? 即使貴如數學王子的高斯,
尚且不敢攖其鋒, 只能把非歐幾何的研究結果藏在抽屜裡, 秘而不宣。不久之後還是在德意志境
外的俄羅斯與匈牙利, 分別被提了出來, 大家頓時覺悟原來歐氏幾何只是當初設定的選項之一,
因此質疑: 這個在康德哲學的框架下思考, 被體認的空間究竟是三個裡的那一個? 或者三者全
非還有其他? 這個問題當然是個沒有解答的公案。只是打開了思想的一道大門, 首先有哲學家
認為, 這證明了先驗的說法是錯誤的, 因而據此以顛覆康德哲學。其次物理世界的空間, 從邏輯
實證的觀點, 固然在太陽系尺度內, 大致吻合相對論, 但是宇宙論裡所有各式各樣的1+3 時空
模型, 目前還是宗教信仰的含量高些。最後非歐幾何證明了“平行公設”的獨立性, 但是其他的各
公設是否也應逐條經過檢視呢? 何以歐幾理得能一言為萬世法, 那究竟甚麼才是幾何? 一時之
間大家各執其端, 互謗異己, 這終要等待個一代宗師出現, 這段過程很像禪宗六祖惠能復出的經
過[6] 。

時有風吹旛動, 一僧曰風動, 一僧曰旛動, 議論不已,
惠能進曰:「不是風動, 不是旛動, 仁者心動」, 一眾駭然.

惠能用的其實就是黑格爾的辯證法, 在爭論中不靠兩邊而攀頂, 佔據相對的高度來調和對
立, 統一矛盾。克萊因(FelixKlein(1849-1925)) 如法炮製, 提出厄南庚綱領(ErlangerPro
gramm), 認為數學不應為哲學服務, 所謂幾何, 開宗明義, 非風非旛, 就只是在特定的變換群的
操作下, 研究其不變量的學問, 因此幾何的分類與從屬, 等同於變換群。兼者他與舊日同窗李碩
佛(SophusLie(1842-1899)), 倆人在離散群與連續群之間, 瓜分了變換群論, 各執牛耳, 分
別闡明其中妙用。從此道理既明, 世人才得脫離爭論, 各守其分。終究黑格爾辯證還有一條法則,
就是歷史演變, 克萊因自己也無法逃避。全域作用的變換群太過於拘束, 因此被解放成局部座標
轉換的結構群。然而群的種類千奇百怪, 相對應的幾何更是形色繽紛。多數幾何人工鑿斧, 瘢痕
累累, 是凡人的拙品。小林昭七在變換群經典[7] 的序言裡說, 只有黎曼(riemannian) 幾何與
複(complex) 幾何, 自然天成, 是造物主的傑作, 前者被納許(JohnNash) 證明是歐氏幾何
的延伸, 而後者, 周韙良(1911-1995) 指出是解析幾何的餘緒。這兩種幾何交會之處, 陳省身
(1911-2004) 開闢出酉(Unitary) 幾何, 是眾門人弟子競技之場。


所謂幾何者幾何3


畢竟康德哲學仍然廣受各界重視, 尤其是在教育理論, 先驗的時間與空間直觀感覺仍然是
認知學習的基礎。教育的基本任務, 在加強或導正學習者這類直觀感覺, 為達成這件任務, 首要
喚醒學習主體的自主性, 落實的手段上就是著重動手做實驗。長久以來, 歐氏幾何的推論方式,
是人類文明唯一完整而不具價值偏見的辯證體系, 最適合用來教育學童。學習的目標不僅是空
間概念, 解題技巧。而最重要在養成符合邏輯的習慣, 在思考與行為上造成烙印, 以便將來成長
後能遵循實證, 破除迷信, 甚且在認同社會契約的基礎上, 提高法治素養, 俾能實踐民主, 古人
云, 文以載道, 斯之謂也。

歐氏幾何的學習實驗就是“尺規作圖”。當然正如本文開始提到的雙尺, 直尺與圓規做為工
具的時代, 逐漸離我們遠去, 取代的是資訊工具, 因此近年來有動態(dynamic) 幾何應運而生,
這由全任重在各式各樣場合倡導的[8], 不是傳統義意下的一門幾何, 而是個數學教育方法論。
在軟體的輔助下, 尺規作圖已經換了全新的面貌, 尤其是充分應用空間與時間連續的特性, 幾何
的證明透過巧妙的圖像動態表現, 直接與直觀意念互動。一則有關任意三角形的全稱命題(例如
拿破崙定理) 可作圖檢驗, 達到滿足“任意”這兩字的所有字面含義。而且歐氏幾何與非歐幾何
之間的差異, 只在一個按鍵的切換。以前憑空的想像, 現在可以立即呈現圖像, 而圖像又再激發
想像, 這是思考的鍊鎖反應。

拿破崙定理: 任意三角形各邊延伸作正三角形, 其中心構成正三角形。

但是目前軟體設計的基礎是數值計算, 因此根本上還是解析幾何, 只是隱藏在幕後罷了, 幸
好解析幾何與綜合幾何這兩者, 不如我們想像的對立, 其實是相通的。馮許陶德(vonStaudt
(1798-1867)) 證明由射影幾何的公設也可以重新建立數系, 還可以作圖畫出四則運算[2] 。希
爾伯特(DavidHilbert1862-1943) 把幾何公設裡的點, 線等不定義名詞, 可視為任何物件,
這正是圖寧機的概念。因此由圖像為主, 從綜合幾何出發來設計的電腦, 理論上是可行的, 以中


文的辨識過程來看, 這件設計的責任落在慣用漢字的華人身上, 也是邏輯的必然, 其在斯乎, 其
在斯乎, 小子焉敢讓也。

摘自----數學傳播29 卷3 期民94 年9月

7/1~8/21 破容器-增生與新生 許仲恩個展

　　日頭赤炎炎，熱得要死，正好非常適合待在有超強冷氣的鶯歌陶瓷博物館裡摟!此次個展集合了我近三年來大部分的創作，大致分為"殘像"與"自體分泌物"兩個系列，展覽其實已經快結束了，現在才寫這一篇似乎有點晚，但我的理智告訴我，現在寫剛剛好啦！

　　許多人在問我，自體分泌物到底想表達的是什麼？其實我大部分的回答很簡單，你可以去看一下入口的展覽說明...再不了解的話可以再提出問題，但我並不是想以一個作者已死、觀者自行解讀作品的觀點來逃避作者應負的詮釋責任。抽像的造形作品在展覽場陳列出來，我們看到的是一個＂結果＂...比如說，在水果攤看見椰子，就可以想見他是如何在生長在高高的椰子樹上，而硬殼包覆的內在是甜美的汁液；但當椰子被運到極北酷寒之地，對從未見過他的人而言，椰子就是一個抽象的概念，看得到、吃得到，但還是無法了解他是一種常綠喬木，適合在低海拔成長，種植後約兩年開始結果，壽命可達80歲以上...。所以，我的答案是，就直率的看吧，何必要強求"看懂"呢?看一部電影是快樂的，而看懂一部電影，或許就非如此了。

　　我拋出了在我生命經驗下醞釀、生長的果實，也就是這些自體分泌物，看起來很畸形、很奇怪，也因此許多人會好奇，會問我到底想表達什麼？

　　在這邊我引用《莊子˙應帝王》篇中壺子示相的寓言，說明了在除卻成心(慾望)以後，壺子自身可像鏡子一般反照他人的境界。這也是我做這系列作品期望與觀者能產生的一種關連性。
　
　
　　莊子在寓言中人物的命名都有其寓意，壺，容器也，容器在老子的論述中即為一範型「埏埴以為器，當其無，有器之用。」揉合陶土做成器皿，就是因為當中空無的空間，才有它器皿的作用。壺子，就被當作神人的代稱。

　　壺子的弟子列子喜好巫術，一日帶來了一鄭國的神巫名季咸，號稱可預言人之生死存亡、禍福。壺子四次給他看相，變幻出四種不同狀態，而神巫則從一開始的沾沾自喜，到最後落荒而逃，列子追不上，回問壺子，壺子答：「我剛才給他看的臉像是從沒走出我自己。我虛其自己(忘我、喪我)而隨順他，他看不出我是誰。我只是無所順從，隨波逐流，所以他逃跑了。」神巫所看到的相，是「不知其誰何」，「至人之用心若鏡」神巫看到的是一面鏡子，這是壺子的道，道即自然，而道即深淵，深淵止則不可望穿，如若靜止如鏡子的水面一般。

自體分泌物13

　　管道，是一種流通的容器…

　　心靈就跟管道一樣，若充塞了各種雜訊，就會失去功用。這件作品的結構，從四面觀看皆得同一面相，形成一個自在的圓，那或許就是我期盼著心靈的原始狀態，我透過作品與觀者接觸，那麼壺子示相的故事也每天都在發生。


　　又再引述德勒茲《反伊底帕斯》所述：

　　沒有器官的身體是死亡的模式，一切張力降為零度。當沒有器官的身體把一切器官都推開及超越時，死亡的模式便出現：沒有口、沒有舌頭、沒有牙齒……直自自我完全摧毀，自我了斷……沒有器官的身體是一種死亡的模式，因為沒有死亡，便沒有新的誕生。沒有器官的身體是有機體的死亡，也是另一種生命力量的誕生。

殘像3件

　　人自體的各種管道每日做著新陳代謝的工作，而各種分泌物就透過這些管道流淌著…

　　我們這一代被過剩的、外來的、錯誤的資訊灌溉久了，以致於心裡充滿了空洞與黑暗，我像土蜂一樣，口嚼蜜蠟混著泥土修補蜂巢，試著堆疊、重新建造這些殘破的管道，像個自我保護的堡壘，雖然厚重，但同時也像篩網，可以望穿。

自體分泌物11

　　


　　整個展覽我想表達的大致如此，用文字表達或許還是很抽象，不過就是那個意思,you know.

6/28~8/12<共融> 四人聯展

由左至右依序為石宜婷、林立民、許仲恩、吳明蒨

　　由 石宜婷、林立民、吳明蒨、許仲恩四位年輕藝術家的聯展，在內湖台灣工業銀行總部藝廊(堤頂大道二段99號)，開放時間為星期一至五09:00~06:00，六日沒有開放喔!!

　　四人從事藝術創作的主要媒材都是陶土，但陶土的柔軟可塑性，可以變幻出許多不同的藝術形式， 我們團隊中，四人的作品歧異性很大，雖說都是立體類的創作，但各自對於作品功用、表現技法、隱喻符號的解讀都有自己的見解，石宜婷擅長以抽象的表情符號或誇張的動作，將角色置放在彷彿超越現實的舞台上自轉、自演；林立民把陶瓷表面作為他揮灑的畫布，像連環漫畫般敘述一個事件，來反映他所關注的社會現象；吳明蒨則自人與動物的距離作發想，人對於眷養的、野生的動物，了解的程度如何，或又是陷入一種自以為了解的迴圈裡？在文明的社會中我們觀察動物、使用動物，同時，也想像動物；「人是一個容器」許仲恩用一系列的陶藝創作試圖為這句話下一個註解，器為實，氣為虛，實則虛之，虛則實之。一個徒具外表的容器，內在已自有滿溢出來的生氣，這是生命的規律，也是萬物消長、運行的法則，這系列作品展現的是一個作陶人領悟後的喜悅。

　　 以下分別是四位年輕藝術家的創作理念。

　　“人生如戲，戲如人生＂這句話不僅影響我很深，也投射到我的面對生活的態度上。在求學過程中嚮往自由自在的心理狀態與刻板的學習過程不斷產生衝突，而面對衝擊，一面我對家人、週遭環境作出無聲的抗議，另一面也幫自己配戴微笑專屬的符號表情。
“微笑”的符號語言擁有著致命的吸引力。我把自己定位在馬戲表演中的精神人物“丑角＂身上，小丑的身段幽默帶點詼諧、嚴肅卻不失娛樂、無聲卻易得到觀賞者的熱烈迴響，就好比人生的舞台般，隱設在自我創作的作品本身。希望以陶土形塑出具象的有機體，讓作品的溫度、心跳與土地、環境連結；並期許作品與觀者間的互動是一種娛樂趣味關係，能博君一笑；不論作品傳達給觀者怎樣的訊息，也許是負面、正面，對我來說都是一種持續努力的能量。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(石宜婷)





　　我的創作探討著「慾望」的真實性和趨向性，藉由「事件」化作符號，象徵出一個群體社會現象。由於社會現象紛亂，我認為不斷省視自己的慾望是必要的，身為社會群體裡的個體更可以看清其間的動向、目的和後果，映照自我的內心，才不至於在他人欲望所構築出的浪潮中載浮載沉。所以在作品中試圖探討一個事件的起因後果，「因」與「果」如同生的開始與死的結束，如此創作的目的便在於省視自我的同時，亦讓觀者在觀看作品時，能產生情感連結，藉由事件符號析出個人生存印象，以此達到投射作用，進而產生各自的內在思辨。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (林立民)








　　人類與動物的關係從數千年的歷史發展來看，對人類而言，動物所扮演的角色可能是神明、祖先、獵食者、食物、材料、工具、情感依歸…。但從共同生活的角度來看，現代人對動物的依賴一如往常，但是動物與人的距離卻越來越遙遠。現代人對於動物的印象，也許僅存於意識與想像裡了。所以我試圖藉觀察動物的經驗，想像動物情感來表達動物的喜怒哀樂。

　　動物和人的相似之處很多，我所關注的尤其在動物行為上某些「人性化」的一面，我承認「人性化」這個詞對動物而言是不公平的，對動物而言那是他們本來就有的行為，只是在人類眼中看起來「像是」人的行為。動物令人發笑或令人感到有趣，往往是因為他們表現出的行為像人，而這尤其指的是脊椎動物。既然覺得動物像人，我想在作品裡實踐自己對動物的想像。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (吳明蒨)





　　 活在牛頓時代的人們以為，只要將物體不斷地切割，切割到最小的單位之時，就可以了解構成這世界的起點……製作陶藝便是以這些我們肉眼可視的細微粉末，注以水火交融後的面貌。

在《鐵紅˙變奏》作品中，靈感與材料來源即自我們生活的土地，來自動物、植物、礦物性質的物料，酸鹼成分，可以重新調和成一種新的節奏，與自有自在的天籟不同，透過控制窯火的氣氛、時間，在釉藥表面記錄下色彩與質感。那些微小晶體的成長，經歷與地殼活動同樣的過程，但卻淬煉出與大地有別的風貌。作陶幸運的是，可以看見那抽象的、熾熱的溫度冷卻下來的樣子，及在光可鑑人的作品中重現那時高溫揮汗的風景。

　　所以用一個陶器來形容人其實很貼切，人就是個容器，生來就開始裝進不同的知識、觀念，隨著時間推衍，不斷汰舊換新，回憶也不斷地被遺忘與修正，而自我的狀態就表現在器皿的外觀上。所以，一面我不斷透過創作宣洩過度裝飾與混合的社會文化，也一面在製作器皿當中找回心情的寧靜，作為平衡生活與自我衝突的一個紓壓方式。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (許仲恩)

最後要感謝當天來幫我們加油打氣的朋友拉!!國北教大的學長姐弟妹們、郭主任、台藝大梁家豪、王怡慧老師、健康國小陶藝志工媽媽們還有一路幫我們處理展覽細節的工銀教育基金會美麗的蕭舒文小姐。

健康國小陶藝志工媽媽與四位展覽藝術家

台藝、國北親友團